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Theoreme de superposition de Komolgorov

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La somme des gn associes aux fn converge (geometrique, majoration a ecrire) vers une fonction notee g et

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\[ f= \sum_{j=0}^{\inftyt} (f_j-f_{j+1}) = \sum_{j=0}^{\infty} (\sum_{i=1}^5 g_n \circ \phi_i) = \sum_{i=1}^5 g \circ \phi_i \]

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\[ f= \sum_{j=0}^{\infty} (f_j-f_{j+1}) = \sum_{j=0}^{\infty} (\sum_{i=1}^5 g_n \circ \phi_i) = \sum_{i=1}^5 g \circ \phi_i \]

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Theoreme de superposition de Komolgorov

Je copie-colle mes notes prises en direct lors de l'expose d'Aurelien, inutile de dire qu'il y a des trous.

Introduction historique

Y'a des fausses fonctions de 3 variables qui sont des compositions de fonctions de 2 variables.

ex : (x,y,z) -> x+y+z = +(x,+(y,z))

Question : existe-t-il des fonctions de 3 variables qui sont pas des compositions ("superposition") de fonctions de 2 variables.

13eme pb de Hilbert : une certaine fonction de 3 variables definie implicitement (racine de x^7+ax^3+bx^2+cx+1) etait tellement ignoble que Hilbert conjectura qu'on pouvait meme pas l'ecrire comme composee de fonctions de une ou 2 variables.

Theor\'eme : si n >ou= 2, il existe des reels l1,...,ln et des fonctions f1,...,f2n+1 continues de I=[0,1] dans R tels que pour toute fonction contiunue de I^n dans R, il existe une fonction continue de R dans R tels que

\[ f(x_1, \dots,x_n )= \sum_{k=1}^{2n+1} g(l_1 f_k(x_1)+l_2f_k(x_2)+\dots+l_n f_k(x_n)) \]

En particulier, toute fonction continue de n variables est une composition de fonction de une et 2 variables, et la seule fonction de 2 variable utilisee est la loi +.

Preuve dans le cas n=2

Lemme d'approximation

Soit f de I^2 dans R de norme 1 (norem du sup). On peut l'approximer grossierement par une fonction de la forme voulue. Pon cherche f1, ... f5 continus de I dans R, l dans R et g contuinue de R dans R tels que

  • la norme de g est <ou= 1/7
  • pour tous x et y dans R, $ | f(x,y) - \sum_{k=1}^5 g(f_k(x)+l f_k(y)) | \leq c < 1 $

Rq : approximation de merde (le c va valoir 7/8 proche de 1).

Remarque : les fi dependent de f. C'est Baire qui va permettre d'inverser les quantificateurs.

Preuve : On va separer les variables grace a un argument d'irrationalite.

Soit l irrationnel. Si [a,b] est un intervalle inclus dans I. Si x est dans [a,b], on pose f(x)=q rationnel Si (x,y) est dans [a,b]^2, f(x)+lf(y)=q+lq

Rq : Pourquoi y'a 5 qui apparrait? On ne controlle que ce qui est dans [a,b] et comme f doit etre continue, faudra 5 fonctions f parce que : pour chaque variable, ......

On divise I en 5 intervalles egaux et on en retire 1. Puis on divise I en 10 et on en retire un tout les 5. Precisement, on considere les intervalles de la forme [s/N, s+1/N] et on va retirer les interieurs de ceux tels que s=i [modulo 5].

Pour i <ou= 5, on note I_i ce qui reste et on appelle les composantes connexes de Ii les intervalles "rouges" (ca depend de N).

Si N est assez grand, on choisit des fonction f_i qui verifient

  • fi est constante egale a un rationnel sur chaque intervalle rouge
  • entre 2 intervalles rouges, elle se demerde pour etre continue (par exemple avec un prolongement affine)
  • les divers rationnels q mis en jeu sont tous differents (pour chaque intervalle rouge de chaque Ii)

On appelle rectangle rouge tout produit de 2 intervalles rouges pour le meme Ii. On les note Ri,r (les composantes connexes de Ii x Ii). On dit que i est le rang de Ri,r.

On pose Fi(x,y)=fi(x)+lfi(y) Fi est constante sur tous les rectangles rouges et toutes les valeurs prises sont differentes (car l est irrationnel). On note Fi(Ri,r) la valeur en question.

Par uniforme continuite de f continue sur le compact IxI?, on peut supposer que |f(x,y)-f(x',y')| <ou= 1/7 si d((x,y),(x',y'))^2 < 32 / N^2

On definit g par :

  • si f(x,y)>0 sur Ri,r, on pose g(Fi(Ri,r))=1/7
  • Si f(x,y)<0 sur Ri,r; on pose g(Fi(Ri,r))=-1/7
  • ailleurs on la laisse se demerder pour etre continue et a valeurs dans [-1/7, 1/7]

C'est bien defini car les valeurs Fi(Ri,r) sont toutes differentes.

Verification :

\[|f(x,y)- \sum_{k=1}^5 g(f_k(x)+l f_k(y)) | < 7/8 |\]

Par exemple, si f(x,y)>1/7, f(x,y)>0 sur tout rectangle rouge contenant (x,y) et |f(x,y) - somme | <ou= 1-3/7+2/7 < 7/8

Baire

En fait on a montre que, en notant Uf l'ensemble des (f1,...,f5) tels que le lemme marche est un ouvert dense de C°(I,R)^5

Probleme : on veut une intersection denombrable. La sphere unite de C°(I^2,R) est separable donc il existe une suite (hn) dans cette sphere.

L'intersection des Uhn est dense par Baire donc non vide, on prend un element (f1,...f5) qu'est dedans.

Lemme

Il existe f1,...f5 continues de I dans R telles que pour toute f continue de I^2 dans R, il existe g continue de R dans R telle que :
  • ||g|| <ou= 1/7 ||f||
  • ||f- somme|| <ou= 8/9 ||f||

On fixe les (f1,...f5)

Iteration

Soit f co,tinue de I^2 dans R. On pose
  • f0=f
  • $ f_{n+1} = f_n - \sum_{i=1}^5 g_n \circ \phi_i $

La somme des gn associes aux fn converge (geometrique, majoration a ecrire) vers une fonction notee g et

\[ f= \sum_{j=0}^{\inftyt} (f_j-f_{j+1}) = \sum_{j=0}^{\infty} (\sum_{i=1}^5 g_n \circ \phi_i) = \sum_{i=1}^5 g \circ \phi_i \]

Dimensions superieures

ce qui va jouer le role de l'irrationnel l, sera un n-uplet (l1,...,ln) libre sur Q;

Version constructiviste

http://cca-net.de/vasco/publications/kolmogorov.html

References


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