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BwataBaire.BanachSteinhausr1.5 - 19 Mar 2009 - 00:01 - TWikiGuesttopic end
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Théorème de Banach-Steinhaus

Enoncé

Si $(f_i)_{i \in I}$ est une famille d'applications linéaires continues de E Banach dans F e.v.n telle que :
$\forall x \in E , \exists M_x <+\infty , \forall i \in I , \|f_i(x)\| \geq M_x$
Alors $\exists K , \forall i \in I , \|f_i\| \geq K$

Autrement dit si la famille est bornée en chaque point alors elle est uniformément bornée.

voir aussi SchemaBairetteInversionQuantificateurs

Preuve

...

le texte original dans Fundamenta Mathematicae : http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm09/fm0908.pdf

lien vers une preuve du theoreme : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Banach-Steinhaus

Applications

Suites $l^2$

Enoncé : Soit $(a_n)$ une suite a valeurs complexes telle que pour toute suite $(b_n)$ dans $l^2(\mathbb{N},\mathbb{C})$, la serie $\Sigma a_n b_n$ converge. Alors $(a_n) \in l^2(\mathbb{N},\mathbb{C})$

Preuve : a ecrire

Continuité par composantes
Enoncé : Soient $E_1$, $E_2$ et $F$ des espaces vectoriels normes tels que $E_1$ soit un Banach et soit $f : E_1 \times E_2 \to F$ bilineaire. Si $f$ est continue par composantes alors $f$ est continue.

Preuve : a ecrire

Fonctions continues différentes de leur série de Fourier
Enoncé : a ecrire

Preuve : a ecrire
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