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BwataBaire.CaracterisationDiracsr1.2 - 21 Feb 2006 - 10:08 - ThierryMonteiltopic end

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Caracterisation des Diracs

C'est un exemple de SchemaBairetteInversionQuantificateurs

Version topologique (Baire)

Ennonce

Soit E l'ensemble des suites reelles bornees. Soit $\varphi$ une forme lineaire sur E telle que

$\forall u \in E \ \ \exists n \in \mathbb{N} \ \ \varphi (u) = u(n)$

Alors $\varphi$ est un Dirac :

$\exists n \in \mathbb{N} \ \ \forall u \in E \ \ \varphi (u) = u(n)$

Preuve

On munit E de la norme du sup : $||u|| = \sup_{n \in \mathbb{N}} u(n)$ . Ainsi, est un Banach et $\varphi$ est continue (elle est 1-lipschitzienne).

Pour tout entier n, on pose $F_n = \{ u \in E | \varphi (u) = u(n) \}$ .

Les sont fermes et recouvrent E par hypothese. Donc le lemme de Baire nous dit qu'il existe un entier tel que est d'interieur non-vide.

Mais est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel norme E, donc et $\varphi=\delta_N$ .

On la un exemple de dualite Baire-Dirichlet :

Version algebrique (Dirichlet)

Ennonce

Soit K un corps non denombrable. Soit E l'ensemble des suites a valeurs dans K. Soit $\varphi$ une forme K-lineaire sur E telle que

$\forall u \in E \ \ \exists n \in \mathbb{N} \ \ \varphi (u) = u(n)$

Alors $\varphi$ est un Dirac :

$\exists n \in \mathbb{N} \ \ \forall u \in E \ \ \varphi (u) = u(n)$

Preuve

Comme est infini, on commence par choisir une suite injective.

Ainsi il y a un unique entier tel que $\varphi (u) = u(N)$ . On veut montrer que ce la marche pour tous les elements de .

Pour pas se prendre la tete, on linearise en posant , de sorte que $\varphi (u_0) = 0 = u_0(N)$ .

Soit maintenant dans .

Pour $\lambda$ dans , on pose $w_{\lambda} = v + \lambda u_0 \in E$ . Ainsi il existe un entier $n_\lambda$ tel que $\varphi (v) = \varphi (w_{\lambda}) = w_{\lambda}(n_\lambda)$ .

Comme est non-denombrable, l'application $\left( \begin{array}{ccc} K & \longrightarrow & \mathbb{N} \\ \lambda & \longmapsto & n_\lambda \end{array} \right)$ ne saurait etre injective (tiroirs de Dirichlet), donc il existe $\lambda \neq \lambda'$ tels que $n_\lambda = n_{\lambda'}$ .

On a $\varphi (v) = v(n_\lambda) + \lambda u_0(n_\lambda) = v(n_\lambda) + \lambda' u_0(n_\lambda)$ donc par difference $(\lambda - \lambda')u_0(n_\lambda) = 0$ . Donc $n_\lambda = N$ .

Bilan : $\varphi (v) = w_\lambda(N) = v(N)$ .
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