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BwataBaire.CompactsDenombrablesReelsr1.2 - 19 Dec 2005 - 03:26 - ThierryMonteiltopic end

Les compacts metriques denombrables se plongent homeomorphiquement dans R

Ennonce

Soit (D,d) un espace metrique compact denombrable. Alors il existe une application de D dans R qui est un homeomorphisme sur son image.

Preuve

Pour tout couple (p,q) dans D, on note $O_{p,q} = \{ f\in C^0(D,R) \ | \ f(p) \neq f(q) \}$ .

On munit de la norme du sup ce qui en fait un espace metrique complet (noter que comme D est compact, toute application continue de D dans R est bornee).

Pour tout p different de q, $O_{p,q}$ est un ouvert de E.

Si p est different de q, alors $O_{p,q}$ est dense dans E : en effet, soit f dans E et soit $\varepsilon \textgreater 0$ . Si f est dans $O_{p,q}$ , on a gagne, sinon on pose $g(x) = f(x) + \varepsilon d(p,x) / diam(D)$ ou est le diametre de D. g est bien continue de D dans R, $\varepsilon$ -proche de f et g(p) est different de g(q).

Par le lemme de Baire, $\displaystyle \bigcap_{p\neq q}O_{p,q}$ est dense dans E, en particulier non vide.

On dispose donc d'une injection continue de D dans R. Comme elle est a source compacte, c'est un homeomorphisme sur son image.
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