Les extremites de la completude : un point de vue topologique

La completude est une notion metrique, certes.

Mais :

• D'un cote elle est impliquee par une propriete topologique : etre metrisable et compacte. Les espaces topologiques metrisables dont toutes les distances qui donnent ladite topologie sont completes sont exactement les espaces metrisables compacts.
• De l'autre cote, elle implique une propriete topologique : tous les fermes d'un tel espace sont de Baire. On peut logiquement se demander quels sont les espaces topologiques metrisables tels qu'il existe une distance complete donnant ladite topologie. Peuvent-ils etre caracterises par une propriete du type "tous les fermes sont de Baire" (espaces que l'on peut appeler graves de Baire)? A priori, on peut construire un contre-exemple en utilisant l'axiome du choix. Peut-on s'en passer? Quelle est la complexite de tels contre-exemples? Est-ce qu'on peut obtenir de jolies choses dans cette direction en changeant le jeu d'axiomes (cf )?