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BwataBaire.MauvaiseVitesseDeConvergenceDansLeTheoremeErgodiqueDeBirkhoffr1.1 - 08 Apr 2007 - 23:23 - ThierryMonteiltopic end

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Mauvaise vitesse de convergence dans le theoreme ergodique de Birkhoff

Le cadre

Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace de proba tel que $\mu$ soit sans atome. On dit qu'une application mesurable

de X dans X preserve la mesure $\mu$ si pour toute partie mesurable $A\in\mathcal{A}$ on a $\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)$ . Une telle application

est dite ergodique si toute partie $A\in\mathcal{A}$ telle que

est de mesure 0 ou 1.

Le theoreme ergodique de Birkhoff affirme que dans ces conditions, pour toute fonction $f\in L^1(X,\mathbb{R})$ , pour $\mu$ -presque tout de , $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(T^k(x)) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \int_X f d\mu$ .

$\forall f\in L^1(X,\mathbb{R}) \ \ \ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \circ T^k \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{\mu - p.p.} \int_{X} f d\mu$

En particulier ,

$\forall f\in L^1(X,\mathbb{R}) \ \ \ \forall \delta > 0 \ \ \ \lim_{n\rightarrow\infty} \mu( \{ x\in X \ ; \ |\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k(x) - \int_X f d\mu| > \delta \} ) = 0$

Le resultat suivant nous dit qu'on peut toujours trouver des fonctions telles que la vitesse de convergence dans le theoreme de Birkhoff est arbitrairement lente.

Ennonce

Soit

une suite de reels positifs qui tend vers $+\infty$ . Alors il existe une fonction $f\in L^1(X,\mathcal{R})$ bornee par 1 telle que

$\limsup_{n\rightarrow\infty} b_n \mu( \{ x\in X \ ; \ |\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k(x) - \int_X f d\mu| > 1/2 \} ) = +\infty$

Preuve

Voir le cours de Thierry de la Rue pages 9-10
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