NilpotentsBanach < BwataBaire

BwataBaire

BwataBaire.NilpotentsBanachr1.3 - 16 Apr 2008 - 14:52 - TWikiGuesttopic end

Start of topic | Skip to actions

Nilpotents dans un Banach

Enonce

Soit f une application lineaire continue d'un Banach X dans lui meme telle que

$\forall x \in X, \ \ \exists n \in \mathbb{N}, \ \ f^n(x)=0$

Alors f est nilpotente i.e.

$\exists N \in \mathbb{N}, \ \ f^N=0$

Preuve

Une Bairette de base :

Soit $F_n = \{ x \in X | f^n(x)=0 \}=Ker(f^n)$

Comme f est continue, est ferme dans l'espace metrique complet X donc le lemme de Baire dit qu'un certain est d'interieur non vide.

Mais est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel norme X, donc .

Necessite

On peut remarquer que l'application lineaire $\left( \begin{array}{ccc} \mathbb{R}[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}[X] \\ P & \longmapsto & P' \end{array} \right)$ est "ponctuellement nilpotente" sans etre "uniformement nilpotente".
to top

End of topic
Skip to action links | Back to top

Edit | Attach image or document | Printable version | Raw text | More topic actions
Revisions: | r1.3 | > | r1.2 | > | r1.1 | Total page history | Backlinks

You are here: BwataBaire > NilpotentsBanach

to top