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BwataBaire.SautDeDimensionPourLesEspacesDeBanachr1.2 - 25 Aug 2006 - 22:06 - ThierryMonteiltopic end

Saut de dimension pour les espaces de Banach

Ennoncé

Un Banach de dimension infinie à une dimension non dénombrable.

N.B. la dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une de ses bases (algébriques).

Preuve

Si $\beta = \{e_0, e_1, e_2, e_3, \dots \}$ est une base infinie dénombrable du Banach considéré, alors $\displaystyle X = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} Vect(e_0,\dots,e_n)$ peut s'écrire comme une union dénombrable de fermés d'intérieur vide. En effet, pour tout entier , $Vect(e_0,\dots,e_n)$ est un sous-espace vectoriel strict de donc il est d'interieur vide ; c'est aussi un espace vectoriel normé de dimension finie donc il est fermé dans car complet (pour la norme induite).

comparer avec : SousEspacesVectorielsStricts

Exemple

Il n'existe pas de norme sur $\mathbb{R}[X]$ qui en fasse un Banach.
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