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BwataBaire.SautDeDimensionPourLesEspacesDeBanachr1.2 - 25 Aug 2006 - 22:06 - ThierryMonteiltopic end

---++!! Saut de dimension pour les espaces de Banach

---+++ Ennoncé
Un Banach de dimension infinie à une dimension non dénombrable.

N.B. la dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une de ses bases (algébriques).


---+++ Preuve

Si %$\beta = \{e_0, e_1, e_2, e_3, \dots \}$% est une base infinie dénombrable du Banach %$X$% considéré, alors %$\displaystyle X = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} Vect(e_0,\dots,e_n)$% peut s'écrire comme une union dénombrable de fermés d'intérieur vide. En effet, pour tout entier %$n$%, %$Vect(e_0,\dots,e_n)$% est un sous-espace vectoriel strict de %$X$% donc il est d'interieur vide ; c'est aussi un espace vectoriel normé de dimension finie donc il est fermé dans %$X$% car complet (pour la norme induite).

comparer avec : SousEspacesVectorielsStricts


---+++ Exemple
Il n'existe pas de norme sur %$\mathbb{R}[X]$% qui en fasse un Banach.

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