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BwataBaire.SousEspacesVectorielsStrictsr1.3 - 22 Aug 2006 - 07:54 - PierreBernardtopic end

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Sous espaces vectoriels stricts

Un Banach n'est pas union denombrable de sous-espaces vectoriels fermes stricts.

faut pas deconner

$\mathbb{R}[X]=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{R}_{n}[X]$

est un corps infini, un

-espace vectoriel n'est pas union finie de sous-espaces vectoriels stricts.

On suppose :

$K^n=F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_r$

on peut supposer que les

sont des hypoerplans, noyaux de formes linéaires

. Les

sont des applications polynômiales (en plusieurs variables). Le produit $f_1 f_2\cdots f_r$ est une application polynômiale qui est nulle. Comme

est infini, on sait que l'anneau des applications polynômiales s'identifie à celui des polynômes, qui est intègre. Donc une des

est nulle, contradiction.

${\mathbb{F}_{2}}^2 = \{(0,0),(0,1)\} \cup \{(0,0),(1,0)\} \cup \{(0,0),(1,1)\}$

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