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BwataBaire.SousEspacesVectorielsStrictsr1.3 - 22 Aug 2006 - 07:54 - PierreBernardtopic end

---++!! Sous espaces vectoriels stricts

---+++ Version topologique (Baire)
---++++ Ennonce
Un Banach n'est pas union denombrable de sous-espaces vectoriels fermes stricts.

---++++ Preuve
faut pas deconner

---++++ Necessite
%\[ \mathbb{R}[X]=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{R}_{n}[X] \]% 



---+++ Version algebrique (Dirichlet)
---++++ Ennonce
Si %$K$% est un corps infini, un %$K$%-espace vectoriel n'est pas union finie de sous-espaces vectoriels stricts.

---++++ Preuve
On suppose :
%\[K^n=F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_r\]%
on peut supposer que les %$F_i$% sont des hypoerplans, noyaux de formes linéaires %$f_i$%. Les %$f_i$% sont des applications polynômiales (en plusieurs variables). Le produit %$f_1 f_2\cdots f_r$% est une application polynômiale qui est nulle. Comme %$K$% est infini, on sait que l'anneau des applications polynômiales s'identifie à celui des polynômes, qui est intègre. Donc une des %$f_i$% est nulle, contradiction. 

---++++ Necessite
%\[ {\mathbb{F}_{2}}^2 = \{(0,0),(0,1)\} \cup \{(0,0),(1,0)\} \cup \{(0,0),(1,1)\} \]%

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