Le tipi de Cantor
Il esiste une partie T de R^2, non denombrable, et un point p de T tels que :
- T est connexe
- T\{p} est totalement discontinu
Description
On part du triadique de Cantor K3 classique, a savoir les nombres de [0,1] dont
un des developements en base 3 ne contient pas de 1 (ainsi, 0,1 est dans K3 puisque son developpement impropre est 0,022222... et 0,122222... aussi puisque son developpement propre est 0,2). La construction par arrachage sucessif du tiers median est aussi a considerer.
K3 est le reunion de 2 parties disjointes :
- Le bord B : les elements de K3 qui ont 2 developpements en base 3 (cf exemples plus haut). Il est denombrable. On peut aussi le voir comme etant la reunion des frontieres des parties obtenues a chaque etape de l'arrachage du tiers median. C'est aussi l'union des extremites des composantes connexes (qui sont des intervalles) du complementaire de K3 dans R.
- Le gras G : le reste, a savoir les elements de K3 qui n'ont qu'un seul developpement en base 3. Cet ensemble est non denombrable.
Autant B que G sont denses dans K3.
Cette partie de [0,1] est consideree comme une partie de R^2 (on identifie K3 a K3x{0}).
On pose p=(1/2,1).
Pour tout b dans B, on considere T_b l'ensemble des elements du segment [b,p] de R^2 dont l'ordonnee est rationelle.
Pour tout g dans G, on considere T_g l'ensemble des elements du segment [g,p] de R^2 dont l'ordonnee est irrationelle.
On pose
Tout comme K_3, T est non denombrable.
On munit T de la topologie induite par celle de R^2.
T est connexe
Soient
et
des ouverts disjoints de
tels que
.
On suppose que
, on va montrer que
est vide.
Pour x dans K_3, on definit la hauteur de x par
(
designe l'ordonnee d'un point de R^2).
Pour montrer que
est petit, on va montrer que beaucoup de points de K3 ont une hauteur nulle.
On remarque que si g est dans G, alors h(g) est rationnel car V est un ouvert de T (donc le sup ne peut pas etre un max).
Pour
dans
![$[0,1]\cap\mathbb{Q}$](/~twiki/pub/BwataBaire/TipiCantor/latexe32d5aa115bc91476778b1dd82ae1d93.png)
, on note
, l'adherence des points de
dont la hauteur est q.
Chaque F_q est d'interieur vide dans K3 car il ne rencontre pas B. En effet, si b est un point de B, le point de [b,p] d'ordonnee q est dans T_b donc il est soit dans U soit dans V et comme ces ensembles sont ouverts dans T, aucun point d'un voisinage de b ne peut avoir q comme hauteur.
D'apres le
lemme de Baire,
![$\displaystyle \bigcup_{b\in B} \{b\} \cup \bigcup_{q\in ]0,1]\cap\mathbb{Q}} F_q $](/~twiki/pub/BwataBaire/TipiCantor/latexa4b5f525fcf58d833fd6b4639937a60c.png)
est d'interieur vide dans K3, et tout point x de son complementaire est de hauteur nulle de sorte que le rayon T_x est inclus dans U.
Ainsi, U est dense dans T donc V est vide.
Exercice : ou a-t-on utilise le fait que p etait dans T?
T\{p} est totalement discontinu
Soit x un point de T\{p}. Si y est un point de T\{p} qui n'est pas sur le meme rayon T_k que x, alors x et y peuvent etre separes par une droite de R^2 passant par p et un point de [0,1]\K3, donc y n'est pas dans la composante connexe de x dans T\{p}. Ainsi la composante connexe de x dans T\{p} est incluse dans le rayon auquel appartient x. Mais ce rayon est totalement discontinu (homeomorphe a une partie de Q ou de R\Q), donc la composante connexe de x dans T\{p} est reduite a {x} donc T\{p} est totalement discontinu.
References
- C. Kuratowski et B. Knaster, Sur les ensembles connexes, Fundamenta Mathematicae, Tome 2, 1921.
- Steen et Seebach, Counterexamples in topology, page 145
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