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BwataBaire.TipiCantorr1.3 - 04 Aug 2006 - 01:20 - ThierryMonteiltopic end
---++!! Le tipi de Cantor

Il esiste une partie T de R^2, non denombrable, et un point p de T tels que : 
   * T est connexe
   * T\{p} est totalement discontinu

%TOC%

---+++ Description
On part du triadique de Cantor K3 classique, a savoir les nombres de [0,1] dont *un* des developements en base 3 ne contient pas de 1 (ainsi, 0,1 est dans K3 puisque son developpement impropre est 0,022222... et 0,122222... aussi puisque son developpement propre est 0,2). La construction par arrachage sucessif du tiers median est aussi a considerer. 

K3 est le reunion de 2 parties disjointes : 
   * Le *bord* B : les elements de K3 qui ont 2 developpements en base 3 (cf exemples plus haut). Il est denombrable. On peut aussi le voir comme etant la reunion des frontieres des parties obtenues a chaque etape de l'arrachage du tiers median. C'est aussi l'union des extremites des composantes connexes (qui sont des intervalles) du complementaire de K3 dans R.
   * Le *gras* G : le reste, a savoir les elements de K3 qui n'ont qu'un seul developpement en base 3. Cet ensemble est non denombrable.

Autant B que G sont denses dans K3.

Cette partie de [0,1] est consideree comme une partie de R^2 (on identifie K3 a K3x{0}).

On pose p=(1/2,1).

Pour tout b dans B, on considere T_b l'ensemble des elements du segment [b,p] de R^2 dont l'ordonnee est rationelle.

Pour tout g dans G, on considere T_g l'ensemble des elements du segment [g,p] de R^2 dont l'ordonnee est irrationelle.

On pose %$\displaystyle T = \bigcup_{k \in K_3} T_k $%

Tout comme K_3, T est non denombrable.

On munit T de la topologie induite par celle de R^2.


---+++ T est connexe

Soient %$U$% et %$V$% des ouverts disjoints de %$T$% tels que %$T=U \cup V$%.
On suppose que %$p \in U$%, on va montrer que %$V$% est vide.

Pour x dans K_3, on definit la hauteur de x par %$h(x)=sup\{ord( T_x \cap V) \}$% (%$ord$% designe l'ordonnee d'un point de R^2). 

Pour montrer que %$V$% est petit, on va montrer que beaucoup de points de K3 ont une hauteur nulle.

On remarque que si g est dans G, alors h(g) est rationnel car V est un ouvert de T (donc le sup ne peut pas etre un max).

Pour %$q$% dans %$[0,1]\cap\mathbb{Q}$%, on note %$F_q = \overline{l^{-1}(q)}$%, l'adherence des points de %$K_3$% dont la hauteur est q.

Chaque F_q est d'interieur vide dans K3 car il ne rencontre pas B. En effet, si b est un point de B, le point de [b,p] d'ordonnee q est dans T_b donc il est soit dans U soit dans V et comme ces ensembles sont ouverts dans T, aucun point d'un voisinage de b ne peut avoir q comme hauteur.

D'apres le *lemme de Baire*, %$\displaystyle \bigcup_{b\in B} \{b\} \cup \bigcup_{q\in ]0,1]\cap\mathbb{Q}} F_q $% est d'interieur vide dans K3, et tout point x de son complementaire est de hauteur nulle de sorte que le rayon T_x est inclus dans U.

Ainsi, U est dense dans T donc V est vide.


Exercice : ou a-t-on utilise le fait que p etait dans T?

---+++ T\{p} est totalement discontinu
Soit x un point de T\{p}. Si y est un point de T\{p} qui n'est pas sur le meme rayon T_k que x, alors x et y peuvent etre separes par une droite de R^2 passant par p et un point de [0,1]\K3, donc y n'est pas dans la composante connexe de x dans T\{p}. Ainsi la composante connexe de x dans T\{p} est incluse dans le rayon auquel appartient x. Mais ce rayon est totalement discontinu (homeomorphe a une partie de Q ou de R\Q), donc la composante connexe de x dans T\{p} est reduite a {x} donc T\{p} est totalement discontinu.


---+++ References
   * C. Kuratowski et B. Knaster, _[[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm2/fm2129.pdf][Sur les ensembles connexes]]_, Fundamenta Mathematicae, Tome 2, 1921.
   * Steen et Seebach, _Counterexamples in topology_, page 145
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