Le tipi de Cantor

Description

On part du triadique de Cantor K3 classique, a savoir les nombres de [0,1] dont un des developements en base 3 ne contient pas de 1 (ainsi, 0,1 est dans K3 puisque son developpement impropre est 0,022222... et 0,122222... aussi puisque son developpement propre est 0,2). La construction par arrachage sucessif du tiers median est aussi a consider.

Cette partie de [0,1] est consideree comme une partie de R^2.

K3 est le reunion de 2 parties disjointes :

• Le bord B : les elements de K3 qui ont 2 developpements en base 3 (cf exemples plus haut). Il est denombrable. On peut aussi le voir comme etant la reunion des frontieres des parties obtenues a chaque etape de l'arrachage du tiers median.
• Le gras G : le reste, a savoir les elements de K3 qui n'ont qu'un seul developpement en base 3. Cet ensemble est non denombrable.

Autant B que G sont denses dans K3.

On pose p=(1/2,1).

Pour tout b dans B, on considere Tb l'ensemble des elements du segment [b,p] de R^2 dont l'ordonee est rationelle.

Pour tout g dans G, on considere Tg l'ensemble des elements du segment [g,p] de R^2 dont l'ordonee est irrationelle.

On pose

Tout comme K_3, T est non denombrable.

On munit T de la topologie induite par celle de R^2.

T est connexe

Soient et des ouverts disjoints de tels que .

On suppose que , on va montrer que est vide.

Pour dans , on definit la hauteur de x par . Pour montrer que est petit, on va montrer que beaucoup de points ont une hauteur nulle.

Pour dans , on note , l'adherence des points de tels que

T\{p} est totalement discontinu

Soient x et y distincts dans T\{p}. Si x et y ne sont pas sur le meme rayon [k,p], alors

References

• Counterexamples in topology de Steen et Seebach

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